A prova de Quebrando as Sinapses 4

"Seja P o conjunto dos seus próprios subconjuntos.
P é um conjunto infinito."

Conjunto infinito é aquele que possui infinitos elementos, e é isso o que pretendo demonstrar sobre P. Siga-me de perto...

Premissas

- {a,b,c,...} representa um conjunto com os elementos a, b, c, etc.
- Um conjunto X é subconjunto de um conjunto Y quando todos os elementos de X também pertencem a Y.

Por convenção, {} (o conjunto vazio) é subconjunto de qualquer conjunto. Logo, {} pertence a P. Ou seja, P possui pelo menos 1 elemento. Como todos os elementos de P pertencem a P, P é subconjunto de P. Fazendo K(0)={{},P}, temos que K(0) é subconjunto de P. Portanto, P possui pelo menos 2 elementos. Fazemos agora K(1)={K(0)}. K(1) é subconjunto de P, pois K(0) pertence a P. Fazemos agora K(2)={K(1)}. K(2) é subconjunto de P, pois K(1) pertence a P. Fazemos agora K(3)={K(2)}. K(3) é subconjunto de P, pois K(2) pertence a P. Ou seja, sendo K(n)={K(n-1)}, K(n) é subconjunto de P, pois K(n-1) pertence a P. Isso vale para qualquer número natural n. Como existem infinitos números naturais, existem infinitos K(n) e, como todo K(n) pertence a P, temos que P é um conjunto infinito, CQD.

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